Statistik und Datenanalyse: Aufbau

12. Clusteranalyse – Machine Learning

Benjamin Fretwurst
PDF-Version der Folien

Inhalt

• 1 Clusterannanlyse
  • 1.1 Problemstellung und Vorgehen
  • 1.2 Ablauf einer Clusteranalyse
  • 1.3 Voraussetzungen
  • 1.4 Vorgehensweise
• 2 Hierarchische Clusteranalyse
  • 2.1 Vorteile und Nachteile
  • 2.2 Cluster-Dendrogramm der hierachischen CA
• 3 K-Mean-Clustering
  • 3.1 Voraussetzung
  • 3.2 Clusterzahl bestimmen
  • 3.3 K-Means-Clusteranalyse Iterationen
• Take Home – Ausblick – Vokabeln
• LEF 12
  • Essayfragen 12
  • MC-Fragen 12

Orga

Photo courtesy of Lisa Vogel

Was könnten wir die letzten zwei Sitzungen machen?

Version 1

• Übung zur Clusteranalyse (wie im Plan in Präsenz)
• Zusammenfassung / Wiederholung (online only)

Version 2 (beides online only)

• Fokussierte Wiederholung (Dummys & Interaktionen)
• LEFs durchgehen (online only)
• Übung zur Clusteranalyse (im Begleittext)

Lernziele

Gruppensuche – Clusteranalysen

• Problemstellung
• Anwendungsmöglichkeiten
• Vorgehensweise
• Varianten
• Umsetzung in R (im Begleittext)

1 Clusterannanlyse

Beispiel

Es wurde erst eine Faktorenanalyse über viele Items zur Techniknutzung gemacht und anhand der Faktoren Gruppen gebildet.

Anwendungen

1. Mustererkennung in grossen Datenmengen

2. Marketing und Kundensegmentierung

3. Biologie und Bioinformatik

   • Klassifizierung von Genexpressionsdaten

4. Medizin und Gesundheitswesen

   • Patientenklassifizierung für personalisierte Medizin

5. Bildverarbeitung zu Segmentierung

6. Finanzwesen

   • Risikobewertung, Betrugserkennung

7. Sozialwissenschaften: Gruppen anhand von Meinungen, Einstellungen, Handeln

8. Maschinelles Lernen

   • Initialisierung von Clustern als Ausgangspunkte für Algorithmen

9. Umweltwissenschaften

   • Klassifizierung von Umweltdaten, Identifikation von Umweltclustern und Überwachung über die Zeit.

10. Textanalyse und Natural Language Processing (NLP)

    • Gruppierung von Dokumenten basierend auf dem Inhalt, Identifikation von Themenclustern und Sentimentanalyse.

1.1 Problemstellung und Vorgehen

Problemstellung

Wie können Fälle in einem Datensatz nach einer oder mehreren Variablen gruppiert werden?

Grundsätzliches Vorgehen

Wir suchen Gruppen (Cluster) von Fällen, die sich untereinander so stark wie möglich ähneln (homoge Cluster) und so stark von den anderen Gruppen unterscheiden wie möglich. Es geht also um Segmentierung anhand von Mustern in den Daten – Clusteranalyse ist Mustererkennung.

Zugehörigkeit des Verfahrens

Die Clusteranalyse gehört zu den explorativen Verfahren.

Im Kontext von ML wird sie als «unsupervised learning» behandelt.

Optimierungsproblem der Clusteranalyse

Ziel

Wir wollen eine starke Vereinfachung, also wenige Cluster und gleichzeitig wenig Heterogenität in den Clustern, die aber mit der Zahl der Cluster abnimmt.

1.2 Ablauf einer Clusteranalyse

1. Auswahl der Clustervariablen (ggf. vorher Faktorenanalyse)

2. Bestimmung der Ähnlichkeiten

3. Auswahl des Fusionsalgorithmus

4. Bestimmung der Clusterzahl

5. Interpretation einer Cluster-Lösung

Monothetische CA

Vorgeehen

Alle Fälle werden bezüglich eines einzigen Merkmals geclustert. Die Grenzwerte zwischen den Clustern sind nicht zwingend gleichmässig verteilt.

Nobelpreisverdächtige Schokolade

Polythetische CA

Alle Fälle werden bezüglich ihrer Werte auf mehreren Merkmalen geclustert.

1.3 Voraussetzungen

Nicht zu viele fehlende Werte

Zu viele fehlende Werte verfälschen die Clusterbildung.

Skalenniveau

Das Skalenniveau spielt keine Rolle. Die Algorithmen können Cluster anhand von metrischen, dichotomenn oder kategorialen (mehrere Kategorien) Variablen extrahieren.

Fallzahl

Es braucht relativ grosse Stichproben. Bei kleinen Stichproben sind die Clusteranalysen recht ungenau.

Ähnliche Skalierung der Variablen

Haben die Variablen sehr unterschiedliche Skalierungen (zB Geschlecht dichotom und Alter in Jahren), dann ist eine vorherige z-Transformation der Variablen sinnvoll.

1.4 Vorgehensweise

Proximitätsmasse festlegen

Ähnlichkeits- bzw. Distanzmasse wählen

Distanzmasse

• euklidische Distanzen bei metrischen Variablen
• M-Koeffizient bei dichotomen Variablen (Übereinstimmungen)

Ähnlichkeitsmasse

• (Q-)Korrelationskoeffizient bei stetigen Variablen
• χ^2-Quadrat-Homogenität bei kategoriellen Merkmalen

Cluster-Algorithmen wählen

• Hierarchische Clusteranalyse mit Single-Linkage- oder Complete-Linkage-Verfahren
• Partionierende Clusteranalyse mit K-Means-Algorithmus

Unterschiede zur Faktorenanalyse

Unterschiede zur Faktorenanalyse

Faktorenanalyse

• Zusammenfassen vieler Items (Variablen) zu wenigen Faktoren / Indizes
• Erkennen von Dimensionen hinter Antwort-Mustern als Korrelation der Items
• Prüfen des Zusammenhangs zwischen Gruppen von Items

Clusteranalyse

• Zusammenfassen vieler Fälle zu wenigen Gruppen
• Erkennen von Typen mit ähnlichem Antwort-Verhalten
• Prüfen der Heterogenität der untersuchten Stichprobe oder Teilendavon

Faktorenanalyse vor Clusteranalyse

Da Clusteranalysen ein verzerrendes Gewicht auf hoch korrelierte Variablen legen, führt man häufig vor der Clusteranalyse Faktorenanalysen durch.

Systematik der Clusteranalyseverfahren

Big-Data-Clustering-Taxonomy

2 Hierarchische Clusteranalyse

Ablauf

1. Jeder Fall ist sein eigenes Cluster (2468 Befragte → 2468 Cluster)
   
2. Für jede Paarung werden die Ähnlichkeitsmasse berechnet
   
3. Die beiden Fälle geringster Distanz werden zusammengelegt
   
4. Es werden wieder die Abstände zwischen dem neuen Cluster und den übrigen berechnet
   
5. Schritt 3 und 4 so lange wiederholen bis alle Objekte in einem Cluster sind

Das sind bei 2468 Fällen 2467 Fusionierungsschritte und schon im ersten Schritt 3’044’278 Vergleiche, also um die 4.6^{12} Vergleiche.

2.1 Vorteile und Nachteile

Vorteile

• Kann auch mit kategorialen Variablen und ordinalen gerechnet werden.
• Einfach identifizierbare Ausreisser
• Kann gut angepasst werden

Nachteile

• Es müssen immer jeweils paarweise Distanzen auf jeder Stufe berechnet werden
• Sehr rechenaufwendig und damit viel langsamer als k-means-Cluster
• Viele Masse und Kennwerte

2.2 Cluster-Dendrogramm der hierachischen CA

Beispiel

Hierarchische Clusteranalyse in R

Autos nach Verbrauch (Miles/Gallon und Hubraum)

Dendrogramm

Screeplot der Quadratsumme innerhalb der Cluster

Cluster

Vergleich nach Clustergrössen

3 K-Mean-Clustering

Ablauf

0. Clustervariablen festlegen

1. Bestimmung der Anzahl Cluster

2. zufällige Startpartition der Cluster anlegen

3. nächste Elemente der Cluster bestimmen

4. Clusterzentren neu ausrichten

5. nächste Elemente der Cluster bestimmen

6. iterativ Clusterzentren immer wieder neu ausrichten (4.) und zugehörige Elemente bestimmen (5.)

7. wenn sich nichts mehr tut, enden

8. Interpretation der Clusterlösung

3.1 Voraussetzung

• Die Variablen für die Clusteranalyse müssen metrisch skaliert sein. Kategoriale und ordinale Variablen (mit Informationsverlust) können aber in Dummys umgewandelt werden.

• Die Variablen sollten ähnliche Standardabweichungen haben, können dafür aber z-transformiert werden oder Faktoren einer FA sein (die sind z-transformiert)

• Die Variablen sollten nicht zu stark korrelieren. Bei höheren Korrelationen bietet sich eine vorherige FA an.

3.2 Clusterzahl bestimmen

Es werden k-mean-Clusteranalysen für 1-viele durchgeführt und dann der Knick (Ellbogen) gesucht.

Gütemass der Lösung als R^2

R^2 als \frac{between_{SS}}{total_{SS}} wie Varianzaufklärung.

3.3 K-Means-Clusteranalyse Iterationen

Ausgangslage für die Cluster-Analyse

• 21 Elemente, die bezüglich zwei metrischen Merkmalen geclustert werden sollen.

• Für jedes Element wurde jedes Merkmal gemessen, so können die Fälle auf einem Koordinatensystem eingetragen werden.

• Als Distanzmass wird die euklidische Distanz verwendet. Das ist genau die Distanz, die man von Auge sieht.

K-Means-Cluster-Algorithmus

Schritt 1: Cluster-Zentren

• Es wird eine feste Anzahl (k) von Clusterzentren definiert, die irgendwo zufällig verteilt werden

• Die Cluster-Zentren müssen nicht in der Nähe der tatsächlichen Cluster sein.

• Hier heissen die Zentren: C1, C2 und C3 und sind absichtlich ausserhalb der von Auge sichtbaren Cluster gesetzt.

K-Means-Cluster-Algorithmus

Schritt 2: Elemente zuordnen

• Jedes Element wird dem Cluster zugeordnet, zu dessen Zentrum es den geringsten Abstand hat.

• Dies ist die erste Lösung der k-Means Analyse (schlechte Lösung)

• Die Cluster-Zentren liegen nun aber nicht im Zentrum der Cluster

K-Means-Cluster-Algorithmus

Schritt 3: Zentren zentrieren

• Die tatsächlichen Zentren der Cluster werden berechnet, indem man den Mittelpunkt aller Elemente berechnet, die zu jedem Cluster gehören.

• Die Cluster-Zentren werden dort hin verschoben.

• Nun haben sie sich aber näher an einige Elemente bewegt und sich von anderen entfernt

K-Means-Cluster-Algorithmus

nochmals Schritt 2:

Elemente zuordnen

• Jedes Element wird nun wieder dem Zentrum zugeordnet, das ihm jetzt am nächsten liegt.

• Dori und Fili haben von C3 nach C2 gewechselt

• Nun sind die beiden Clusterzentren C2 und C3 schon wieder am falschen Ort

K-Means-Cluster-Algorithmus

nochmals Schritt 3:

Zentren korrigieren

• Die Clusterzentren C2 und C3 verschieben sich noch einmal, damit sie wieder genau in der Mitte ihres Clusters liegen.

• Nun stimmen die Elemente wieder nicht mehr

K-Means-Cluster-Algorithmus

nochmals Schritt 2: Elemente zuordnen

• Jane ist jetzt im Cluster 1, Kili im Cluster 2, Tom in Cluster 3

• Damit stimmen die Zentren wieder nicht mehr

K-Means-Cluster-Algorithmus

nochmals Schritt 3: Zentren korrigieren

• Alle Cluster-Zentren verschieben sich etwas, um wieder in der Mitte der Elemente zu liegen.

• Nun stimmen die Elemente wieder nicht mehr.

K-Means-Cluster-Algorithmus

nochmals Schritt 2: Elemente zuordnen

• May und Lynn gehören neu zu Cluster 1 und nicht mehr zu Cluster 2.

• Damit stimmen C1 und C2 wieder nicht mehr!

K-Means-Cluster-Algorithmus

nochmals Schritt 3: Zentren korrigieren

• C3 bleibt, wo es ist. Aber die anderen beiden müssen korrigiert werden.

• Nun stimmen deren Elemente wieder nicht mehr

K-Means-Cluster-Algorithmus

nochmals Schritt 2: Elemente zuordnen

• Liz gehört neu zu C1, alle anderen stimmen soweit.
• Nun stimmen die Zentren nicht mehr

K-Means-Cluster-Algorithmus

nochmals Schritt 3: Zentren korrigieren

• C1 und C2 werden ganz wenig korrigiert.
• Stimmen die Elemente noch?

K-Means-Cluster-Algorithmus

nochmals Schritt 2: Elemente zuordnen

• Es gibt keine Änderungen mehr. Alle Elemente bleiben in den Clustern, denen sie zugeordnet waren.

• Jetzt stimmen auch die Zentren

• Endlösung ist erreicht: Die drei Zentren liegen genau im Zentrum der Elemente, die ihnen am nähesten sind.

Der k-means Algorithmus

In Worten

Am Anfang die Anzahl (k) der Cluster festlegen. Dann werden Clusterzentren zufällig in den Variablenraum gelegt. Dann wird jeder Fall seinem nächsten Clusterzentrum zugeordnet. Dann das Clusterzentrum in den Mittelpunkt seines Clusters verlegt. Wieder werden alle Fälle ihren jeweils nächsten Clustern zugeordnet. Dann wieder Verschiebund der Clusterzentren usw. bis kein Fall mehr sein Cluster wechselt und keine Verschiebung der Clusterzentren mehr stattfindet.

Gütemass ist die Summe quadrierter Clusterzentrenabweichungen.

Clusteranalyse schöner mit factoextra

DATEN <- iris |> 
  select(-Species)

# Compute k-means with k = 3
set.seed(123)
res.km <- kmeans(scale(DATEN), 3, nstart = 25)

# Dimension reduction using PCA
res.pca <- prcomp(DATEN,  scale = TRUE)

# Coordinates of individuals
ind.coord <- as.data.frame(factoextra::get_pca_ind(res.pca)$coord)
# Add clusters obtained using the K-means algorithm
ind.coord$cluster <- factor(res.km$cluster)
# Add Species groups from the original data sett
ind.coord$Species <- iris$Species
# Data inspection
# head(ind.coord)

# Percentage of variance explained by dimensions
eigenvalue <- round(factoextra::get_eigenvalue(res.pca), 1)
variance.percent <- eigenvalue$variance.percent

# head(eigenvalue)

ggpubr::ggscatter(
  ind.coord, x = "Dim.1", y = "Dim.2", 
  color = "cluster", palette = "npg", ellipse = TRUE, ellipse.type = "convex",
  shape = "Species", size = 1.5,  legend = "right", ggtheme = theme_bw(),
  xlab = paste0("Dim 1 (", variance.percent[1], "% )" ),
  ylab = paste0("Dim 2 (", variance.percent[2], "% )" )
) +
  ggpubr::stat_mean(aes(color = cluster), size = 4)

Figure 1: Pflanzencluster

Lesen Sie!

Emmer/Füting/Vowe (2006): “Wer kommuniziert wie über politische Themen?”

Take Home – Ausblick – Vokabeln

Take Home

Clusteranalysen

Mit Clusteranalysen versucht man, Fälle anhand von Variablen zusammenzufassen. Es sollen möglichst nicht zu viele Cluster sein und in den Clustern die Fälle ähnlich und die Cluster selbst unähnlich.

k-Mean-Cluster

• Kann man mit metrischen machen (auch Dummys).
• Der Algorithmus findet iterativ die beste (kleinste mittlere Distanzen) Zuordnung aller Fälle zu eine Anzahl vorgegebener Cluster (k).
• Mit dem Ellenbogenkriterium kann man bestimmen, welche Anzahl Cluster k optimal ist.
• Geht nur mit metrischen, nicht mit ordinalen oder kategorialen
• Findet immer eine Lösung, auch bei reiner Zufallsverteilung.

Ausblick

Wir könnten uns mit Clusteranalysen in R beschäftigen (im Sinne einer Übung) oder auf kompliziertere Sachverhalte eingehen. Etwas, was Sie gerne nochmal erklärt bekommen hätten.

LEF 12

Essayfragen 12

E12.1 a) Was ist das Ziel einer Clusteranalyse? b) Was ist der Unterschied zu einer Faktorenanalyse?

E12.2 Welches Skalenniveau wird benötigt, wenn bei einer Clusteranalyse «Clusterzentren» berechnet werdenn sollen?

E12.3 Wie ist der grobe Ablauf einer k-means-Clusteranalyse?

E12.4 Warum werden Clusteranalysen im Kontext von ML als «unsupervised learning» bezeichnet?

E12.5 Warum kann man nicht einfach sagen, dass die Clusterlösung mit der kleinsten Heterogenität (mittlere Distanz zu Clusterzentren) die beste Lösung ist?

E12.6 Warum werden oft Faktorenanalysen vor den Clusteranalysen durchgeführt?

E12.7 Was verbirgt sich hinter der Abkürzung «ML»?

E12.8 Wozu dient bei einer Clusteranalyse das «Ellbogenkriterium»?

E12.9 Warum sind hierarchische Clusteranalysen für Big Data oder zum Beispiel Bildanalysen ungeeignet?

MC-Fragen 12

MC 12.1.

MC 12.1: Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?

MC_12_1 = [
    ["Clusteranalysen dienen der Zusammenfassung von Fällen in Gruppen.", "richtig"],
    ["Mit Clusteranalysen werden Variablen zusammengefasst.", "falsch"],
    ["Mit der Clusteranalyse werden möglichst unähnliche Fälle in Clustern zusammengefasst.", "falsch"],
    ["Die Clusteranalyse ist ein exploratives Verfahren.", "richtig"]
]

viewof answers_12_1 = quizInput({
  questions: MC_12_1,
  options: ["richtig", "falsch"]
})

Punkte_12_1 = {
const Sum = 
    (answers_12_1[0] == MC_12_1[0][1])*1 + 
    (answers_12_1[1] == MC_12_1[1][1])*1 + 
    (answers_12_1[2] == MC_12_1[2][1])*1 + 
    (answers_12_1[3] == MC_12_1[3][1])*1 

var Punkte_12_1 = Sum - 2
if (Punkte_12_1 < 1) {Punkte_12_1 = 0}
return(Punkte_12_1)
}

Punkte:

MC 12.2.

MC 12.2: Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?

MC_12_2 = [
    ["Die Clusteranalyse wird im ML-Kontext als «unsupervised learning» behandelt.", "richtig"],
    ["Ziel der Clusteranalyse ist eine Reduktion der Fälle auf wenige untereinander homegene Cluster bei möglichst geringer Homogenität innerhalb der Cluster.", "falsch"],
    ["Häufig werden Clusteranalysen vor Faktorenanalysen durchgeführt, damit letztere besser fitten.", "falsch"],
    ["Damit die Variablen nicht hoch korrelieren, werden vor CAs oft FAs durchgeführt.", "richtig"]
]

viewof answers_12_2 = quizInput({
  questions: MC_12_2,
  options: ["richtig", "falsch"]
})

Punkte_12_2 = {
const Sum = 
    (answers_12_2[0] == MC_12_2[0][1])*1 + 
    (answers_12_2[1] == MC_12_2[1][1])*1 + 
    (answers_12_2[2] == MC_12_2[2][1])*1 + 
    (answers_12_2[3] == MC_12_2[3][1])*1 

var Punkte_12_2 = Sum - 2
if (Punkte_12_2 < 1) {Punkte_12_2 = 0}
return(Punkte_12_2)
}

Punkte:

MC 12.3.

MC 12.3: Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?

MC_12_3 = [
    ["Clusteranalysen sind vor allem für die Analyse fehlender Werte geeignet.", "falsch"],
    ["Es gibt Clusteranalyseverfahren, die mit allen möglichen Skalenniveaus gut klarkommen.", "richtig"],
    ["Clusteranalysen funktionieren besonders gut mit kleinen Fallzahlen.", "falsch"],
    ["Es kann immer höchstens so viele Cluster geben, wie es Variablen gibt.", "falsch"]
]

viewof answers_12_3 = quizInput({
  questions: MC_12_3,
  options: ["richtig", "falsch"]
})

Punkte_12_3 = {
const Sum = 
    (answers_12_3[0] == MC_12_3[0][1])*1 + 
    (answers_12_3[1] == MC_12_3[1][1])*1 + 
    (answers_12_3[2] == MC_12_3[2][1])*1 + 
    (answers_12_3[3] == MC_12_3[3][1])*1 

var Punkte_12_3 = Sum - 2
if (Punkte_12_3 < 1) {Punkte_12_3 = 0}
return(Punkte_12_3)
}

Punkte:

MC 12.4.

MC 12.4: Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?

MC_12_4 = [
    ["Proximitätsmasse sind Ähnlichkeits- beziehungsweise Distanzmasse.", "richtig"],
    ["Euklidische Distanzen können nur für metrische Variablen festgestellt werden.", "richtig"],
    ["Für eine Clusteranalyse werden immer mindestens so viele Variablen benötigt, wie man Cluster extrahieren will.", "falsch"],
    ["Manche Clusteralgorithmen nehmen als Ähnlichkeitsmass auch die Korrelation.", "richtig"]
]

viewof answers_12_4 = quizInput({
  questions: MC_12_4,
  options: ["richtig", "falsch"]
})

Punkte_12_4 = {
const Sum = 
    (answers_12_4[0] == MC_12_4[0][1])*1 + 
    (answers_12_4[1] == MC_12_4[1][1])*1 + 
    (answers_12_4[2] == MC_12_4[2][1])*1 + 
    (answers_12_4[3] == MC_12_4[3][1])*1 

var Punkte_12_4 = Sum - 2
if (Punkte_12_4 < 1) {Punkte_12_4 = 0}
return(Punkte_12_4)
}

Punkte:

MC 12.5.

MC 12.5: Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?

MC_12_5 = [
    ["k-means-Cluster kann nur auf metrische (und Dummys) angewendet werden.", "richtig"],
    ["Bei k-means-Cluster sind ähnliche Standardabweichungen der Variablen erwünscht.", "richtig"],
    ["Bei k-means-cluster müssen hohe Korrelationen zwischen den Variablen vorliegen. ", "falsch"],
    ["Mit dem Ellbogenkriterium werden Clusterzentren einander zugeordnet.", "falsch"]
]

viewof answers_12_5 = quizInput({
  questions: MC_12_5,
  options: ["richtig", "falsch"]
})

Punkte_12_5 = {
const Sum = 
    (answers_12_5[0] == MC_12_5[0][1])*1 + 
    (answers_12_5[1] == MC_12_5[1][1])*1 + 
    (answers_12_5[2] == MC_12_5[2][1])*1 + 
    (answers_12_5[3] == MC_12_5[3][1])*1 

var Punkte_12_5 = Sum - 2
if (Punkte_12_5 < 1) {Punkte_12_5 = 0}
return(Punkte_12_5)
}

Punkte:

MC 12.6.

MC 12.6: Mal was zu R?

MC_12_6 = [
    ["Clusteranalysen haben eher deskriptiven Analysegehalt.", "richtig"],
    ["Clusteranalysen werden häufig eingesetzt um Typologien zu bilden.", "richtig"],
    ["Hierarchische Clusteranalysen sind so rechenaufwendig, dass selbst moderne Rechner eher verrottet sind als sie mit der Analyse fertig werden.", "richtig"],
    ["Die Clusterzentren der k-means-Cluster korrelieren hoch miteinander.", "falsch"]
]

viewof answers_12_6 = quizInput({
  questions: MC_12_6,
  options: ["richtig", "falsch"]
})

Punkte_12_6 = {
const Sum = 
    (answers_12_6[0] == MC_12_6[0][1])*1 + 
    (answers_12_6[1] == MC_12_6[1][1])*1 + 
    (answers_12_6[2] == MC_12_6[2][1])*1 + 
    (answers_12_6[3] == MC_12_6[3][1])*1 

var Punkte_12_6 = Sum - 2
if (Punkte_12_6 < 1) {Punkte_12_6 = 0}
return(Punkte_12_6)
}

Punkte:

Punkte_12_max = 12

Punkte_12_Gesamt = Punkte_12_1 + Punkte_12_2 + Punkte_12_3 + Punkte_12_4 + Punkte_12_5 + Punkte_12_6

Prozent_12_Gesamt = round(120*Punkte_12_Gesamt/Punkte_12_max, 0)

Note_12_grob = round((round(Punkte_12_Gesamt/Punkte_12_max,1)*12+2)/2, 1)

Insgesamt von Punkten, was % und etwa einer entspricht.

round = (n, places) => {
  if (!places) return Math.round(n);
  const d = 10 ** places;
  return Math.round(n * d) / d;
}

function quizInput({ questions, options}) {
  let answers = questions.map(() => null);
  let root = htl.html`<div
      style="
        display: grid;
        grid-template-columns: 10% 10% 70% 10%;"
    >
      ${options.map(
        (opt) => htl.html`<div style="font-weight: bold; font-size: HUGE">${opt}</div>`
      )}
      <div style="font-weight: bold">Aussagen</div>
      <div style="font-weight: bold"></div>
      ${Array.from(questions.entries(), ([i, [question, correct]]) =>
        quizInputRow({
          question,
          options,
          correct,
          onChange: (newAnswer) => {
            answers[i] = newAnswer;
            root.value = answers;
            root.dispatchEvent(new CustomEvent("input"));
          }
        })
      )}
    </div>`;
  root.value = answers;
  return root;
}

function quizInputRow({
  question,
  options,
  correct,
  onChange = () => {}
}) {
  let root = htl.html`<div>`;

  function setAnswer(answer, initial = false) {
    morph(
      root,
      htl.html`<div style="display: contents"> 
      <form style="display: contents">
        ${options.map(
          (opt) =>
            htl.html`<label>&emsp;</label> 
            <input  
              name=${question} &emsp;
              type="radio"
              value="${opt}"
              checked=${opt === answer}
              onChange=${() => setAnswer(opt)}
            >
            </input>`
        )}
      </form>
      <div>${question}</div>
      <div> &emsp; ${
       answer === null ? "" : answer === correct ? "💚" : "❌"
      }</div>
    </div>`
    );

    root.value = answer;
    if (!initial) {
      root.dispatchEvent(new CustomEvent("input"));
      onChange(answer);
    }
  }

  setAnswer(null, true);
  return root;
}

morph = require("https://bundle.run/nanomorph@5.4.2")

MathJax = require("https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.5/MathJax.js?config=TeX-AMS_CHTML")
  .catch(() => window.MathJax)
  .then(MathJax => {
    MathJax.Hub.Config({
      CommonHTML: { scale: 110 }, // scaling to get the same size as katex (but katex still has more spacing between lines...)
      tex2jax: { inlineMath: [["$", "$"], ["\\(", "\\)"]] },
      displayMath: [["$$", "$$"], ["\\[", "\\]"]],
      processEscapes: true,
      TeX: { extensions: ["autoload-all.js"] },
    });
    return new Promise(resolve =>
      MathJax.Hub.Register.StartupHook("End", () => resolve(MathJax))
    );
  })